薛定宇教授大讲堂（卷Ⅴ）：MATLAB微分方程求解 PDF下载

第 1章微分方程简介 1
1.1微分方程建模简介 1
1.1.1电路的建模 1
1.1.2力学问题的建模 3
1.1.3社会系统的建模 3
1.2微分方程发展简史 5
1.3本书主要内容 8本
章习题 9
第 2章常微分方程的解析解 10
2.1一阶微分方程的解析解 10
2.1.1可由简单积分求解的微分方程 11
2.1.2齐次线性方程 11
2.1.3非齐次线性方程 12
2.1.4可分离变量的非线性微分方程 13<；p>；第 1章微分方程简介 ； 1<；/p>；
<；p>；1.1微分方程建模简介 1<；/p>；
<；p>；1.1.1电路的建模 ； 1<；/p>；
<；p>；1.1.2力学问题的建模 3<；/p>；
<；p>；1.1.3社会系统的建模 3<；/p>；
<；p>；1.2微分方程发展简史 5<；/p>；
<；p>；1.3本书主要内容 ； 8本<；/p>；
<；p>；章习题 ； 9<；/p>；
<；p>；第 2章常微分方程的解析解 ； 10<；/p>；
<；p>；2.1一阶微分方程的解析解 ； 10<；/p>；
<；p>；2.1.1可由简单积分求解的微分方程 11<；/p>；
<；p>；2.1.2齐次线性方程 11<；/p>；
<；p>；2.1.3非齐次线性方程 12<；/p>；
<；p>；2.1.4可分离变量的非线性微分方程 13<；/p>；
<；p>；2.2特殊函数与二阶线性微分方程 ； 14<；/p>；
<；p>；2.2.1 Gamma函数 ； 15<；/p>；
<；p>；2.2.2超几何函数 ； 16<；/p>；
<；p>；2.2.3 Bessel微分方程 ； 17<；/p>；
<；p>；2.2.4 Legendre微分方程与 Legendre函数 ； 19<；/p>；
<；p>；2.2.5 Airy函数 ； 20<；/p>；
<；p>；2.3常系数线性微分方程的求解 ； 21<；/p>；
<p>2.3.1线性常系数微分方程解析解的数学描述  21</p>
<p>2.3.2基于 Laplace变换的求解方法 22</p>
<p>2.3.3非齐次微分方程的求解  24</p>
<p>2.3.4非零初值的微分方程求解  25</p>
<p>2.4一般微分方程的解析解  27</p>
<p>2.4.1简单微分方程的解析解  27</p>
<p>2.4.2常系数高阶线性微分方程的解析解  29</p>
<p>2.4.3线性时变微分方程的解析解 31</p>
<p>2.4.4线性时变微分方程组的求解 32</p>
<p>2.4.5边值问题的计算机求解  33</p>
<p>2.5线性矩阵微分方程的求解  34</p>
<p>2.5.1线性状态空间方程的解析解 35</p>
<p>2.5.2状态方程的直接求解  36</p>
<p>2.5.3 Sylvester微分方程的求解  37</p>
<p>2.5.4基于 Kronecker乘积的 Sylvester微分方程直接求解  38</p>
<p>2.6特殊非线性微分方程的解析解  39</p>
<p>2.6.1可解的非线性微分方程  39</p>
<p>2.6.2解析解不存在的非线性微分方程  41</p>
<p>本章习题  41</p>
<p>第 3章微分方程的初值问题  45</p>
<p>3.1一阶显式微分方程组的初值问题 45</p>
<p>3.1.1初值问题的数学形式  45</p>
<p>3.1.2初值问题解的存在性与唯一性 46</p>
<p>3.2定步长数值算法与实现  46</p>
<p>3.2.1 Euler算法  47</p>
<p>3.2.2二阶 Runge–Kutta算法  50</p>
<p>3.2.3四阶 Runge–Kutta算法  51</p>
<p>3.2.4 Gill算法  52</p>
<p>3.2.5 m阶 Runge–Kutta算法  53</p>
<p>3.2.6定步长多步算法与实现  56</p>
<p>3.3变步长数值算法与实现  58</p>
<p>3.3.1提高求解效率的措施  58</p>
<p>3.3.2变步长方法简介 59</p>
<p>3.3.3四级五阶 Runge–Kutta变步长算法  60</p>
<p>3.3.4基于 MATLAB的微分方程求解函数  61</p>
<p> </p>
<p>3.3.5基于 MATLAB的带有附加参数的微分方程求解  65</p>
<p>3.3.6避免附加参数的方法  67</p>
<p>3.4微分方程数值解的验证  68</p>
<p>3.4.1计算结果的验证 68</p>
<p>3.4.2中间计算结果的动态处理  70</p>
<p>3.4.3更高精度的数值计算函数  71</p>
<p>3.4.4计算步长与定步长显示  72</p>
<p>3.4.5高阶非线性微分方程的求解实例  74</p>
<p>本章习题  75</p>
<p>第 4章微分方程的标准型变换  80</p>
<p>4.1单个高阶常微分方程变换方法  80</p>
<p>4.1.1高阶显式微分方程的变换  81</p>
<p>4.1.2时变微分方程的求解方法  84</p>
<p>4.1.3微分方程的奇点 85</p>
<p>4.1.4含有常数参数的状态增广方法 87</p>
<p>4.2复杂高阶微分方程的变换与求解 88</p>
<p>4.2.1含有最高阶导数二次方的微分方程  88</p>
<p> </p>
<p>4.2.2含有最高阶导数奇数次方的微分方程  90</p>
<p>4.2.3含有最高阶导数的非线性运算 91</p>
<p>4.3高阶常微分方程组的变换  92</p>
<p>4.3.1简单的显式微分方程组  92</p>
<p>4.3.2定步长算法的局限性  98</p>
<p>4.3.3简单的隐式微分方程组  100</p>
<p>4.3.4更复杂的非线性方程组  102</p>
<p>4.4矩阵型微分方程的变换  104</p>
<p>4.4.1矩阵型微分方程的变换与求解 104</p>
<p>4.4.2 Sylvester微分方程  106</p>
<p>4.4.3 Riccati微分方程  107</p>
<p>4.5一类 Volterra积分微分方程的变换  109</p>
<p>本章习题  112</p>
<p>第 5章特殊微分方程  116</p>
<p>5.1刚性微分方程  116</p>
<p>5.1.1线性微分方程的时间常数  117</p>
<p>5.1.2刚性现象  117</p>
<p>5.1.3刚性微分方程的直接求解  119</p>
<p>5.1.4微分方程刚性的检测  122</p>
<p>5.1.5刚性微分方程的定步长求解 126</p>
<p>5.2隐式微分方程  127</p>
<p>5.2.1隐式微分方程的一般数学描述 127</p>
<p>5.2.2隐式微分方程相容初值的变换 129</p>
<p>5.2.3隐式微分方程的直接求解  131</p>
<p>5.2.4多解隐式微分方程的求解  134</p>
<p>5.3微分代数方程  135</p>
<p>5.3.1微分代数方程的一般形式  135</p>
<p>5.3.2微分代数方程的指数类型  136</p>
<p>5.3.3半显式微分代数方程的直接求解  136</p>
<p> </p>
<p>5.3.4微分代数方程直接求解方法的局限性  139</p>
<p>5.3.5一般微分代数方程的隐式微分方程求解  140</p>
<p>5.3.6微分代数方程的指数降型方法 145</p>
<p>5.4切换微分方程  147</p>
<p>5.4.1线性切换微分方程  147</p>
<p>5.4.2过零点检测与事件设置  148</p>
<p>5.4.3非线性切换微分方程  151</p>
<p>5.4.4不连续微分方程 152</p>
<p>5.5线性随机微分方程 154</p>
<p>5.5.1线性随机微分方程的传递函数 154</p>
<p>5.5.2连续随机系统仿真的误区  155</p>
<p>5.5.3随机线性系统的离散化  156</p>
<p>本章习题  160</p>
<p>第 6章延迟微分方程  164</p>
<p>6.1带有延迟常数的延迟微分方程数值解  164</p>
<p>6.1.1从普通微分方程到延迟微分方程  164</p>
<p>6.1.2零历史函数的延迟微分方程求解  166</p>
<p>6.1.3非零历史函数的延迟微分方程 170</p>
<p>6.2变延迟的微分方程 172</p>
<p>6.2.1变延迟的微分方程模型  172</p>
<p>6.2.2基于时间延迟的延迟微分方程 173</p>
<p>6.2.3基于状态延迟的微分方程  176</p>
<p>6.2.4带有广义延迟的延迟微分方程 177</p>
<p>6.3中立型延迟微分方程的求解  179</p>
<p>6.3.1中立型延迟微分方程  179</p>
<p>6.3.2变延迟中立型微分方程  182</p>
<p>6.4带有延迟的 Volterra积分微分方程  183</p>
<p>本章习题  184</p>
<p>第 7章微分方程的性质与行为  187</p>
<p>7.1微分方程的稳定性 187</p>
<p>7.1.1常系数线性微分方程的稳定性 187</p>
<p>7.1.2 Routh–Hurwitz稳定性判据  189</p>
<p> </p>
<p>7.1.3 Lyapunov函数与 Lyapunov稳定性  192</p>
<p>7.1.4时变微分方程的自治化  193</p>
<p>7.1.5一般非线性系统的稳定性判定 193</p>
<p> </p>
<p>7.1.6基于数值仿真的复杂系统稳定性判定  195</p>
<p>7.2微分方程的特殊行为  197</p>
<p>7.2.1极限环  198</p>
<p>7.2.2周期解  201</p>
<p>7.2.3混沌与吸引子 204</p>
<p>7.2.4 Poincaré映射  208</p>
<p>7.3微分方程的线性化近似  210</p>
<p>7.3.1平衡点  210</p>
<p>7.3.2非线性微分方程的线性化  213</p>
<p>7.3.3平衡点的性态 216</p>
<p>7.4微分方程的分岔  217</p>
<p>本章习题  218</p>
<p>第 8章分数阶微分方程 219</p>
<p>8.1分数阶微积分的定义与数值计算 220</p>
<p>8.1.1分数阶微积分的定义  220</p>
<p> </p>
<p>8.1.2不同分数阶微积分定义的关系与性质  221</p>
<p>8.1.3 Grünwald–Letnikov定义的数值计算  222</p>
<p>8.1.4 Caputo微积分定义的数值计算  223</p>
<p>8.2同元次线性分数阶微分方程的解析解  224</p>
<p>8.2.1 Mittag-Leffler函数  224</p>
<p>8.2.2同元次线性分数阶微分方程 225</p>
<p>8.2.3一个重要的 Laplace变换公式 226</p>
<p>8.2.4基于部分分式展开的解析解方法  227</p>
<p>8.3常系数线性分数阶微分方程的数值求解  231</p>
<p>8.3.1线性方程的闭式解法  231</p>
<p> </p>
<p>8.3.2 Riemann–Liouville微分方程  233</p>
<p> </p>
<p>8.3.3 Caputo微分方程  235</p>
<p>8.3.4等效初值的计算 237</p>
<p>8.3.5微分方程的高精度算法  239</p>
<p>8.4非线性分数阶微分方程的求解  242</p>
<p>8.4.1预估方程  243</p>
<p>8.4.2校正求解方法 246</p>
<p>8.4.3隐式 Caputo微分方程的高精度矩阵算法 247</p>
<p>本章习题  249</p>
<p>第 9章常微分方程的框图求解  251</p>
<p>9.1 Simulink必备知识  252</p>
<p>9.1.1 Simulink简介  252</p>
<p>9.1.2 Simulink相关模块  252</p>
<p>9.2微分方程的框图建模思想  254</p>
<p>9.2.1积分器链与关键信号生成  254</p>
<p>9.2.2微分方程的框图描述方法  255</p>
<p>9.2.3微分方程的求解 257</p>
<p>9.2.4算法与参数设定 258</p>
<p>9.3微分方程建模举例 260</p>
<p>9.3.1一般微分方程组 260</p>
<p>9.3.2微分代数方程 263</p>
<p>9.3.3切换微分方程 265</p>
<p>9.3.4不连续微分方程 267</p>
<p>9.3.5延迟微分方程 267</p>
<p>9.3.6非零历史函数的延迟微分方程 269</p>
<p>9.3.7随机微分方程 271</p>
<p>9.4分数阶微分方程的 Simulink求解 272</p>
<p>9.4.1分数阶算子的模块逼近  273</p>
<p> </p>
<p>9.4.2 Riemann–Liouville分数阶微分方程的建模与求解  274</p>
<p>9.4.3 Caputo导数的模块计算 276</p>
<p>9.4.4 Caputo分数阶微分方程的建模与求解 277</p>
<p>9.4.5分数阶延迟微分方程  279</p>
<p>本章习题  280</p>
<p>第 10章微分方程的边值问题  283</p>
<p>10.1微分方程标准边值问题  283</p>
<p>10.2二阶微分方程两点边值问题的打靶求解  284</p>
<p>10.2.1线性时变方程边值问题的打靶算法  285</p>
<p>10.2.2线性微分方程的有限差分算法  287</p>
<p>10.2.3非线性方程边值问题的打靶算法  289</p>
<p>10.3高阶微分方程两点边值问题  293</p>
<p>10.3.1 MATLAB的直接求解函数 293</p>
<p>10.3.2简单边值问题的求解  294</p>
<p>10.3.3复杂边值条件的描述与求解 298</p>
<p>10.3.4带有待定参数的边值问题  298</p>
<p>10.3.5半无穷区间的边值问题  301</p>
<p>10.3.6带有浮动边值的多解微分方程  302</p>
<p>10.3.7积分微分方程的边值问题  303</p>
<p> </p>
<p>10.4基于最优化技术的微分方程边值问题求解  304</p>
<p>10.4.1简单边值问题的最优化求解 304</p>
<p>10.4.2隐式微分方程的边值问题  305</p>
<p>10.4.3延迟微分方程的边值问题  308</p>
<p>10.4.4多点已知值的微分方程问题 309</p>
<p>10.4.5浮动边值问题的重新求解  311</p>
<p>10.4.6基于框图的边值问题求解方法  312</p>
<p>10.4.7分数阶微分方程的边值问题 313</p>
<p>本章习题  314</p>
<p>第 11章偏微分方程入门 316</p>
<p>11.1扩散方程的数值求解  317</p>
<p>11.1.1一维扩散方程的数学形式与解析解  317</p>
<p>11.1.2扩散方程的离散化方法  318</p>
<p>11.1.3非齐次扩散方程  321</p>
<p>11.1.4高维扩散方程的数学形式  323</p>
<p>11.2几种特殊形式的偏微分方程  323</p>
<p>11.2.1偏微分方程的分类  323</p>
<p>11.2.2特征值型偏微分方程  325</p>
<p>11.2.3边界条件的分类  325</p>
<p>11.3典型二维偏微分方程求解界面 326</p>
<p>11.3.1偏微分方程求解程序概述  326</p>
<p>11.3.2偏微分方程几何区域绘制  327</p>
<p>11.3.3偏微分方程边界条件描述  328</p>
<p>11.3.4偏微分方程求解举例  329</p>
<p>11.3.5解的其他显示方法  330</p>
<p>11.3.6函数参数的偏微分方程求解 332</p>
<p>11.4一般偏微分方程的求解  333</p>
<p>11.4.1创建空白的偏微分方程对象模型  333</p>
<p>11.4.2几何区域的语句描述  333</p>
<p>11.4.3边界条件与初始条件描述  336</p>
<p>11.4.4偏微分方程的描述  337</p>
<p>11.4.5偏微分方程的数值求解  338</p>
<p>本章习题  343</p>
<p>参考文献 345</p>
<p>MATLAB函数名索引  350</p>
<p>术语索引 354</p>